미분방정식 예제

연습: 다음과 같은 미분 방정식을 해결합니다. a) 2y ` = 6x b) y ` cos x = 죄 (2x) c) y ` e x = e 3x 솔루션 위의 연습a) y = (3/2) x 2 + C b) y = -2 cos x + C c) y =(1/2) e 2x + C 많은 일반 미분 방정식은 Dq를 사용하여 늑대에서 정확하게 해결 될 수 있습니다[e[e]를 사용하여 늑대에서 정확하게 해결 될 수 있습니다[e]. , y, x], NDSolve[eqn, y, x, xmin, xmax]를 사용하여 수치적으로 사용됩니다. 이제 위의 프로세스는 이 미분 방정식을 해결하는 수학적으로 올바른 방법입니다. 그러나 미분도 “분리”하면 미분 방정식을 물리적으로 이 용어는 속도에 비례하는 힘에 해당합니다. 솔루션에 대해 무엇을 추측할 수 있으며, 새로운 미분 방정식을 만족시킬 수 있도록 위에 있던 솔루션을 수정하는 방법은 무엇입니까? 다시 말하지만, 우리는 물리적 시스템에 대한 지식을 사용할 수 있습니다: 속도의 방향과 반대되는 힘이 있을 때, 우리는 그것을 느리게 합니다. 그래서 우리는 두 가지 가능한 답변 중 하나를 기대: 그것은 진동해야, 진동의 크기는 점차 시간이 지남에 따라 감소, 또는 다른 (감쇠가 충분히 큰 경우) 심지어 진동없이 정지 속도가 느려질 수 있습니다. 먼저 두 방정식을 나눈 다음 방정식을 제곱하고 추가하여 A와 φ로 이러한 문제를 해결할 수 있습니다. 따라서 이러한 주어진 초기 조건에 대해 상수 A와 φ의 조합을 찾을 수 있으므로 일반적인 솔루션입니다. 우리는 차동을 사용하여 우리의 질문을 작성 할 수 있습니다 : 분리 가능한 미분 방정식은 우리가 다음과 같은 형태로 작성할 수있는 미분 방정식입니다. 위의 예제에서 DE를 해결한다는 것은 주어진 DE를 만족시키는 파생 상품이 없는 방정식을 찾는 것을 의미합니다.

미분 방정식을 해결하려면 항상 하나 이상의 통합 단계가 포함됩니다. 우리의 임무는 미분 방정식을 해결하는 것입니다. 이것은 어떤 시점에서 통합을 포함하고, 우리는 (주로) “y = …”의 줄을 따라 식으로 끝날 것입니다. 특수 유형입니다. 이 모호한 제목은 특정 유형의 방정식에 대해 작동하는 특수 기술을 포함하는 것입니다. 이 것 역시 고등학교 수학 코스에서 공부하기 위한 것입니다. 따라서 작업을 좀 더 쉽게 진행하려면 (eqref{eq:eq3})를 사용하여 미분 방정식에 대한 해결책을 찾습니다. 또한 통합을 수행 한 후 명시적 솔루션 (y(x)에 대해 해결할 수있는 암시적 솔루션이 있습니다.

명시적 솔루션에 대해 항상 해결할 수 있는 것은 아닙니다.